Dans le cas particulier de parties convexes d’un espace vectoriel topologique, les opérateurs topologiques élémentaires d’adhérence ou intérieur préservent la convexité. Sous une réserve technique mineure (qui justifie l’introduction de concepts simples, ceux d’intérieur relatif et de frontière relative, qui sont l’intérieur ou la frontière relativement à l’enveloppe affine du convexe), le remplacement d’un convexe par son adhérence ou son intérieur n’en modifie pas profondément la forme ; en particulier le bord du convexe reste discernable sur les nouveaux convexes ouvert ou fermé qu’on lui a substitués.
Pour des raisons qui tiennent surtout à l’absence de vocabulaire usuel pour les espaces affines munis d’une topologie compatible avec leur structure géométrique, les résultats cidessous sont énoncés dans le contexte d’un espace vectoriel topologique. Dans les faits where to buy jerseys, c’est la structure affine de l’espace sousjacent qui fait sens et tout ce qui est énoncé est valable à l’identique sous l’hypothèse d’un « espace affine topologique » (c’estàdire un espace affine dont l’espace vectoriel sousjacent est muni d’une structure d’espace vectoriel topologique).
En particulier, tout ce qui est écrit est valable dans le cadre des espaces affines de dimension finie. Le lecteur mal à l’aise en topologie générale mais au fait du vocabulaire de base concernant les espaces métriques pourra lire l’article en se restreignant mentalement à un tel cadre, suffisant pour survoler l’essentiel du contenu.
Les espaces sont toujours implicitement réels (il faudrait adapter certaines affirmations relatives aux dimensions dans le cas d’espaces vectoriels complexes).
Proposition — Dans un espace vectoriel topologique, l’adhérence d’un convexe est convexe.
L’adhérence de
$$C
{\displaystyle C}
est notée
$$C
¯
{\displaystyle {\overline {C}}}
(ou
$$cl
C
{\displaystyle \operatorname {cl} C}
, de l’anglais closure).
Notons C le convexe.
Version simplifiée de la démonstration, valable pour les seuls espaces où l’adhérence s’exprime séquentiellement (ce qui est le cas si l’espace est métrisable, en particulier s’il est séparé et de dimension finie)
Soient x et y deux points de C, et z un point du segment [x, y], qui peut donc être écrit sous la forme z = λx + (1 – λ)y pour un certain λ de [0, 1].
On peut écrire
$$x
=
lim
+
∞
x
k
{\displaystyle x=\lim _{+\infty }x_{k}}
et
$$y
=
lim
+
∞
y
k
{\displaystyle y=\lim _{+\infty }y_{k}}
pour deux suites
$$(
x
k
)
{\displaystyle (x_{k})}
et
$$(
y
k
)
{\displaystyle (y_{k})}
de points de C.
Alors
$$z
=
lim
+
∞
(
λ
x
k
+
(
1
−
λ
)
y
k
)
{\displaystyle z=\lim _{+\infty }(\lambda x_{k}+(1\lambda )y_{k})}
fournit une expression de z comme limite de points de C, ce qui assure bien l’appartenance de z à C.
Version valable dans tout espace vectoriel topologique
Considérons l’application f, de [0, 1]×E×E dans E, définie par f(λ, x, y) = λx + (1 – λ)y. Une partie C de E est convexe si et seulement si f([0, 1]×C×C) ⊂ C. Par continuité de f (et puisque l’adhérence d’un produit est le produit des adhérences), cette propriété se transmet de C à C.
Après s’être intéressé à l’adhérence d’un convexe, il est naturel d’examiner son intérieur. Or il apparaît ici une désagréable dissymétrie : alors que le remplacement d’un convexe C par son adhérence conserve une partie significative de l’information sur la forme de celuici (ainsi, du moins en dimension finie, l’adhérence n’est qu’exceptionnellement l’espace ambiant E tout entier, en fait dans le seul cas dégénéré où C = E) le remplacement par l’intérieur peut effacer toute information (l’intérieur étant souvent vide).
On a le choix entre deux solutions, plus ou moins adaptées selon le cas, pour contourner cet obstacle : l’une est de se restreindre dans les énoncés à des convexes dont l’enveloppe affine est l’espace ambiant tout entier — mais dans certains contextes, ce n’est guère pratique, par exemple si on veut évoquer les faces d’un polyèdre convexe — ; l’autre est d’introduire un vocable supplémentaire :
Définition — L’intérieur relatif d’un convexe non vide C dans un espace vectoriel topologique E est l’intérieur de C relativement au sousespace affine engendré par C.
Pour le distinguer de l’intérieur de C dans E, noté
, l’intérieur relatif de C est noté
$$ir
C
{\displaystyle \operatorname {ir} C}
ou
$$intr
C
{\displaystyle \operatorname {intr} C}
(ou
$$ri
C
{\displaystyle \operatorname {ri} C}
relative interior).
Par définition de la topologie induite sur
$$aff
C
{\displaystyle \operatorname {aff} C}
, on a donc :
Par exemple, l’intérieur relatif d’un sousespace affine est ce sousespace luimême.
En dimension finie tout au moins, et contrairement à l’intérieur, l’intérieur relatif d’un convexe non vide n’est jamais vide :
Proposition — En dimension finie, l’intérieur relatif d’un convexe C non vide n’est pas vide, et a même enveloppe affine (donc même dimension) que C.
Notons F le sousespace affine engendré par C et d sa dimension. Il existe alors d + 1 points de C affinement indépendants, e_{0}, … , e_{d}. Le simplexe ouvert de F
$${
∑
i
=
0
d
t
i
e
i

t
i
>
0
,
∑
t
i
=
1
}
{\displaystyle \left\{\left.\sum _{i=0}^{d}t_{i}e_{i}~\right~t_{i}>0,\sum t_{i}=1\right\}}
C, et engendre encore affinement F.
En dimension quelconque, pour
$$x
∈
ir
C
{\displaystyle x\in \operatorname {ir} C}
on a évidemment : pour tout point
$$v
≠
x
{\displaystyle v\neq x}
dans
$$aff
C
{\displaystyle \operatorname {aff} C}
, il existe
$$u
∈
C
{\displaystyle u\in C}
tel que
$$x
∈
]
u
,
v
[
{\displaystyle x\in \left]u,v\right[}
(il suffit de choisir
$$u
=
x
+
ε
(
x
−
v
)
{\displaystyle u=x+\varepsilon (xv)}
pour un
$$ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
$$
ir
C
{\displaystyle \operatorname {ir} C}
est non vide — ce qui a lieu sous les hypothèses de la proposition précédente — alors, pour qu’un point
$$x
{\displaystyle x}
de
$$E
{\displaystyle E}
lui appartienne, il suffit que pour tout point
$$v
≠
x
{\displaystyle v\neq x}
dans
$$ir
C
{\displaystyle \operatorname {ir} C}
, il existe
$$u
∈
C
{\displaystyle u\in C}
tel que
$$x
∈
]
u
,
v
[
{\displaystyle x\in \left]u,v\right[}
. En effet :
Lemme d’intériorité — Soit
$$C
{\displaystyle C}
un convexe d’un espace vectoriel topologique. Alors,
$$∀
u
∈
C
¯
∀
v
∈
int
C
]
u
,
v
]
⊂
int
< football club t shirts online!– –>
C
.
{\displaystyle \forall u\in {\overline {C}}\quad \forall v\in \operatorname {int} C\quad \left]u,v\right]\subset \operatorname {int} C.}
Soient w = tu + (1 – t)v avec t ∈ ]0, 1[, et V un ouvert contenant 0 tel que v + V ⊂ C. Alors, l’ouvert u – (1 – t)V/t rencontre C en un certain point u’, et w appartient à l’ouvert tu’ + (1 – t)(v + V), qui est inclus dans C.
On déduit de ce lemme que (comme pour l’adhérence) on a :
Corollaire — Dans un espace vectoriel topologique, l’intérieur et l’intérieur relatif d’un convexe sont convexes.
En guise de résumé de cette section, on peut faire un bilan rapide, C désignant un convexe non vide d’un espace affine réel E de dimension finie, on a l’alternative suivante :
La frontière d’un convexe est toujours Lebesguenégligeable (voir « Mesure de Jordan »).
Mais, de même que l’intérieur « ordinaire », elle n’est pas toujours un objet pertinent pour l’étude d’un convexe. Ainsi, pour un terrain rectangulaire vivant dans l’espace à trois dimensions, elle est bien décevante puisque égale à toute l’étendue du territoire.
On utilisera plutôt la frontière relative, définie à partir de l’intérieur relatif :
Définition — La frontière relative d’un convexe non vide dans un espace affine de dimension finie est le complémentaire de son intérieur relatif dans son adhérence.
Le concept est bien plus satisfaisant : dans l’exemple du terrain, il renvoie bien ce qu’évoque le mot « frontière » du langage courant.
On peut faire la remarque suivante, d’intérêt surtout anecdotique dès lors que le théorème de KreinMilman en fournit une variante nettement plus puissante :
Proposition — Un convexe compact (non vide et non réduit à un point) est l’enveloppe convexe de sa frontière relative (et a fortiori de sa frontière)
Soit z un point du convexe C. Traçons, dans le sousespace affine engendré par C, une droite affine D passant par z. L’intersection C∩D est un convexe compact non vide de D, donc un segment [x, y]. Les deux points x et y sont alors sur la frontière relative donc z est dans l’enveloppe convexe de cette frontière.
La frontière contenant toujours la frontière relative, l’affirmation a fortiori est alors une évidence.
On sait que, pour des parties quelconques d’un espace topologique (cf. Théorème « 14 » de Kuratowski (en)), il faut accumuler pas moins de quatre opérateurs pour arriver à des formules justes :
Les choses se stabilisent beaucoup plus vite pour des convexes, comme l’expriment le théorème cidessous et son corollaire :
Théorème — Soit C un convexe dans un espace vectoriel topologique. On suppose en outre C d’intérieur non vide. Alors
Fixons (d’après l’hypothèse de nonvacuité de int C) un v auxiliaire lui appartenant.
Corollaire — Pour un convexe non vide C en dimension finie,
Calcul d’intérieur relatif de convexes — Soient
$$E
{\displaystyle E}
,
$$E
1
{\displaystyle E_{1}}
,
$$E
2
{\displaystyle E_{2}}
et
$$F
{\displaystyle F}
des espaces vectoriels de dimension finie et
$$A
:
E
→
F
{\displaystyle A:E\to F}
une application linéaire.
(en) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton, New Jersey, Princeton University Press, coll. « Princeton Mathematical Series » (n^{o} 28), ()