Ordre de domination

En mathématiques discrètes, l’ordre de domination (en anglais dominance order, appelé aussi dominance ordering, majorization order, natural ordering) est un ordre partiel sur l’ensemble des partitions d’un entier naturel qui joue un rôle important en combinatoire algébrique et en théorie des représentations, spécialement dans le contexte des fonctions symétriques et des représentations du groupe symétrique.

Soient





p


=


(



p



1




,



p



2




,






)




{\displaystyle p=(p_{1},p_{2},\ldots )}


et





q


=


(



q



1




,



q



2




,






)




{\displaystyle q=(q_{1},q_{2},\ldots )}


deux partitions d’un entier





n




{\displaystyle n}


, avec






p



1









p



2














{\displaystyle p_{1}\geq p_{2}\geq \cdots }


et






q



1









q



2














{\displaystyle q_{1}\geq q_{2}\geq \cdots }


. Alors





p




{\displaystyle p}


est inférieur ou égal à





q




{\displaystyle q}


dans l’ordre de domination, et on écrit





p






q




{\displaystyle p\trianglelefteq q}


si, pour tout





k






1




{\displaystyle k\geq 1}


, la somme des





k




{\displaystyle k}


parties les plus grandes de





p




{\displaystyle p}


est inférieure ou égale à la somme des





k




{\displaystyle k}






q




{\displaystyle q}


. Formellement :





p






q




{\displaystyle p\trianglelefteq q}


si et seulement si, pour tout





k






1




{\displaystyle k\geq 1}


,






p



1




+






+



p



k









q



1




+






+



q



k




.




{\displaystyle p_{1}+\cdots +p_{k}\leq q_{1}+\cdots +q_{k}.}


Dans cette définition, les partitions sont allongées si nécessaire en les complétant de parties nulles. Par exemple, et comme indiqué dans la figure, on a





(


6


)






(


5


,


1


)






(


4


,


2


)



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(


1


,


1


,


1


,


1


,


1


,


1


)




{\displaystyle (6)\trianglerighteq (5,1)\trianglerighteq (4,2)\trianglerighteq \cdots \trianglerighteq (1,1,1,1,1,1)}


.

Les partitions d’un entier





n




{\displaystyle n}


forment un treillis pour l’ordre de domination. L’opération de conjugaison est un antiautomorphism de ce treillis. On peut décrire les opérations de treillis comme suit :

À une partition





p


=


(



p



1




,



p



2




,






)




{\displaystyle p=(p_{1},p_{2},\ldots )}


, complétée éventuellement par des parties nulles, on associe la suite

On retrouve





p




{\displaystyle p}


à partir de

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p


^








{\displaystyle {\hat {p}}}


par






p



i




=






p


^







i












p


^







i






1




.




{\displaystyle p_{i}={\hat {p}}_{i}-{\hat {p}}_{i-1}.}


. Par exemple, pour (3,1,1,1) et (2,2,2) les suites associées sont (0,3,4,5,6,6,6) et (0,2,4,6,6,6,6). Les suites associées aux partitions sont caractérisées, parmi les suites à





n


+


1




{\displaystyle n+1}


termes, par les trois propriétés suivantes. Elles sont :

Par la définition de l’ordre de domination, une partition





p




{\displaystyle p}


précède une partition





q




{\displaystyle q}


(





p






q




{\displaystyle p\trianglelefteq q}


) si et seulement si la suite








p


^








{\displaystyle {\hat {p}}}


est terme par terme inférieure ou égale à








q


^








{\displaystyle {\hat {q}}}


. Il en résulte que la borne inférieure





p






q




{\displaystyle p\land q}


de deux partitions





p




{\displaystyle p}


et





q




{\displaystyle q}


est la partition dont la suite associée est





min


(






p


^







i




,






q


^







i




)




{\displaystyle \min({\hat {p}}_{i},{\hat {q}}_{i})}


. Ainsi, pour les partitions (3,1,1,1) et (2,2,2), la suite associée à leur borne inférieure est (0,2,4,5,6,6,6), et donc





p






q


=


(


2


,


2


,


1


,


1


)




{\displaystyle p\land q=(2,2,1,1)}


.

Une formule aussi simple n’existe pas pour la borne supérieure parce que le maximum, pris composante par composante, de deux suites concaves n’est plus nécessairement concave: ainsi pour les partitions (3,1,1,1) et (2,2,2) les suites associées sont (0,3,4,5,6,6,6) et (0,2,4,6,6,6,6) et leur maximum, pris terme à terme, est (0,3,4,6,6,6,6) qui n’est pas concave (parce que 2\cdot4<3+6). La construction de la borne supérieure passe par la conjugaison en utilisant l’antiautomorphisme : la borne supérieure





p






q




{\displaystyle p\lor q}


de





p




{\displaystyle p}


et





q




{\displaystyle q}


est la partition conjuguée de la borne inférieure des conjuguées






p











{\displaystyle p^{\star }}


et






q











{\displaystyle q^{\star }}


 :

Pour les deux partitions





p




{\displaystyle p}


et





q




{\displaystyle q}


de l’exemple précédent, leurs partitions conjuguées sont (4,1,1) et (3,3), et leur borne inférieure est (3,2,1). Cette partition est sa propre conjuguée, et la borne supérieure de





p




{\displaystyle p}






q




{\displaystyle q}


est donc (3,2,1). Thomas Brylawski a établi d’autres propriétés du treillis des partitions pour l’ordre de domination. Ainsi, le treillis n’est pas distributif dès que





n






7




{\displaystyle n\geq 7}


. En revanche, certaines propriétés des treillis distributifs restent valables dans ce treillis : par exemple, sa fonction de Möbius ne prend que les valeurs 0, 1, et –1.